Doctorant : Méthodes par homotopie pour l'algèbre différentielle (H/F)

Description du Poste

Sujet De Thèse

Comment prédire le mouvement des planètes, la propagation d’une épidémie ou l’évolution d’un réseau de réactions chimiques ? Voici quelques-uns des nombreux problèmes qui peuvent être modélisés par des équations différentielles ordinaires (EDO). La résolution de ces équations a une longue histoire et reste un problème important en science et en technologie.

L’algèbre différentielle est une branche des mathématiques qui s’intéresse à l’étude des équations différentielles d’un point de vue algébrique et symbolique. Sa philosophie générale consiste à doter la résolution des équations différentielles d’un cadre général, de manière similaire à la géométrie algébrique, qui fournit des fondements pour la résolution des systèmes polynomiaux. Du point de vue constructif, l’idée est d’utiliser des méthodes algébriques comme la réécriture ou l’élimination de variables pour simplifier ou transformer les équations différentielles. Considérons, par exemple, l’énoncé « il existe une dépendance linéaire entre les fonctions y₁(z), y₂(z), y₃(z) avec des coefficients constants ». Cet énoncé peut s’écrire sous la forme :

∃ c₁, c₂, c₃, (c₁ ≠ 0 ∨ c₂ ≠ 0 ∨ c₃ ≠ 0) ∧ (c₁ y₁ + c₂ y₂ + c₃ y₃ = 0).

De manière similaire au célèbre résultat de Tarski pour les ensembles constructibles, des théorèmes fondamentaux en algèbre différentielle garantissent que le quantificateur existentiel peut être éliminé : la condition peut être exprimée comme une combinaison logique d’équations et d’inéquations ne faisant intervenir que y₁, y₂, y₃. Dans ce cas, la condition est en effet équivalente à l’annulation du wronskien de y₁, y₂, y₃. De plus, des algorithmes ont été développés et implémentés pour ce type d’élimination de quantificateurs et d’autres tâches fondamentales de l’algèbre différentielle.

L’approche traditionnelle de l’algèbre différentielle consiste à raisonner sur les équations différentielles elles-mêmes en tant qu’expressions symboliques. L’un des inconvénients de cette approche est que les résultats intermédiaires des calculs peuvent être des expressions extrêmement volumineuses (imaginez la différentiation dix fois du produit y₁ y₂ y₃ !). Une approche alternative pourrait consister à travailler avec certaines solutions des équations d’intérêt. À cette fin, le théorème d’inclusion de Seidenberg implique que les solutions sous forme de séries entières sont denses dans l’ensemble de toutes les solutions, par rapport à une topologie appropriée (appelée topologie de Kolchin). Par conséquent, l’objectif de la présente proposition est de travailler systématiquement avec des solutions sous forme de séries entières plutôt qu’avec les équations elles-mêmes. De telles solutions sont déterminées de manière unique par les équations différentielles et un nombre suffisant de conditions initiales. Par exemple, les solutions sous forme de séries entières de y’’ + (y’)² = 0 sont

y₍α,β₎(z) = α + log (1 + β z) = α + β z – (1/2) β² z² + ...,

avec les conditions initiales y₍α,β₎(0) = α, y’₍α,β₎(0) = β. Inversement, toute équation différentielle dont y₍α,β₎ est une solution est une conséquence logique de y’’ + (y’)² = 0.

En adoptant ce point de vue, les systèmes d’équations différentielles donnent lieu à des systèmes d’équations algébriques sur les coefficients des séries entières. Par exemple, l’équation y’’ + (y’)² = 0 pour y = y₀ + y₁ z + y₂ z² + ... est équivalente au système infini d’équations

2 y₂ + y₁² = 0
6 y₃ + 4 y₁ y₂ = 0
12 y₄ + 6 y₁ y₃ + 4 y₂² = 0
...

en y₀, y₁, y₂, .... Les troncatons de ces systèmes définissent des variétés algébriques, de sorte que les outils de l’algèbre non linéaire constructive peuvent leur être appliqués. Un outil particulièrement prometteur est la continuation par homotopie, qui peut être présentée comme une étude de l’effet de petites perturbations des conditions initiales α et β sur la solution y₍α,β₎. Nous pouvons également considérer des déformations des équations elles-mêmes en des équations généralement plus faciles à résoudre.

Lorsque ces techniques d’homotopie réussissent, elles fournissent une description des solutions sous forme de séries entières numériques pour notre système original d’équations différentielles, au moyen de ce que l’on appelle des ensembles témoins. L’étape suivante consiste à extraire des informations algébriques pertinentes de cette description. On souhaite généralement découvrir des relations cachées entre les variables (comme celles apparaissant pour les équations différentielles algébriques de haut indice) ou obtenir de nouvelles équations qui ne font pas intervenir certaines des fonctions inconnues (comme les relations entrée-sortie en théorie du contrôle). L’existence de telles relations peut généralement être établie en considérant la dimension de projections appropriées des variétés algébriques correspondantes.

Enfin, bien que notre philosophie principale soit de travailler systématiquement avec des solutions plutôt qu’avec des équations, il est en théorie possible de déterminer les solutions les plus simples satisfaites par des équations données en combinant les techniques d’homotopie et l’interpolation creuse. L’interpolation creuse est une technique probabiliste générale permettant de reconstruire des polynômes creux c_1 x_1^{i_{1, 1}} ... x_n^{i_{1, n}} + ... + c_s x_1^{i_{s, 1}} ... x_n^{i_{s, n}} à partir d’un nombre approprié d’évaluations numériques. Pour les polynômes exacts à coefficients rationnels, on utilise généralement la réduction modulaire, suivie d’évaluations en progression géométrique ou en points FFT dans un corps fini. Grâce à une série d’améliorations récentes, ces techniques d’interpolation creuse sont devenues extrêmement efficaces. Dans le cadre de ce projet, nous avons l’intention de combiner l’interpolation creuse avec les techniques d’homotopie, ce qui signifie que nous travaillerons plutôt avec des polynômes sur les nombres complexes. Nous prévoyons de développer de nouvelles techniques pour rendre l’interpolation creuse très efficace dans ce contexte également.

En résumé, l’objectif principal de cette thèse est de construire un pont entre l’algèbre différentielle et les descriptions d’ensembles de solutions sous forme de séries entières pour les équations différentielles. Ce pont doit reposer sur des fondements mathématiques solides et être aussi efficace que possible, conduisant finalement à de nouveaux algorithmes plus performants pour les problèmes typiques de l’algèbre différentielle, tels que la simplification des systèmes d’équations différentielles, l’élimination des quantificateurs, la découverte de contraintes cachées ou l’identification de paramètres.

Votre Environnement de Travail

L’algèbre différentielle a été initialement développée par Ritt, Kolchin et d’autres chercheurs comme une théorie purement algébrique et constructive pour raisonner sur les systèmes d’équations différentielles. Avec l’avènement des systèmes de calcul formel, des contreparties effectives ont été élaborées et mises en œuvre.

L’approche consistant à étudier les équations différentielles par le biais de leurs solutions sous forme de séries entières remonte aux travaux d’Ehresmann, mais les méthodes effectives correspondantes restent rares.

Les techniques de continuation par homotopie ont conduit à des solveurs très efficaces pour les systèmes d’équations algébriques. Cependant, ces solveurs sont généralement moins robustes que les solveurs algébriques, et le développement de solveurs à la fois fiables et efficaces reste un enjeu important.

L’interpolation creuse est une méthode permettant de reconstruire des polynômes ou des fonctions rationnelles creux à partir d’un nombre suffisant d’évaluations numériques. Grâce à des améliorations récentes, cette méthode est devenue très efficace. Sa combinaison avec les techniques numériques d’homotopie pourrait non seulement conduire à des solveurs plus robustes, mais aussi permettre la reconstruction de contreparties algébriques des solutions numériques.

Le travail sera coencadré par Fabrice Rouillier de l'équipe OURAGAN de l'Institut de Mathématiques de Jussieu – Paris rive gauche. Le candidat disposera d'un bureau et d'un ordinateur au laboratoire d'Informatique de l'École polytechnique (LIX), dans l'équipe MAX (modélisation algébrique).

Rémunération et avantages

Rémunération

La rémunération est d'un minimum de 2300,00 € mensuel

Congés et RTT annuels

44 jours

Pratique et Indemnisation du TT

Pratique et indemnisation du TT

Transport

Prise en charge à 75% du coût et forfait mobilité durable jusqu’à 300€

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