Description du sujet de thèse

Le but est d'étudier l'utilisation des structures de Garside pour prouver la fidélité des représentations de Khovanov-Seidel des groupes d'Artin-Tits.

Les groupes d'Artin-Tits sont des groupes de symétries associés aux groupes quantiques, qui généralisent les groupes de tresses. Leur étude algébrique et géométrique est particulièrement riche, et difficile en toute généralité. L'utilisation d'une structure dite "de Garside", qui permet une écriture privilégiée des éléments et des propriétés algorithmiques fortes, est particulièrement utile, mais on ne connaît que très peu d'exemples de telles structures.
Thomas Haettel (avec Jingyin Huang, Duke Math. Journal, 2024) a récemment découvert de nouvelles structures de Garside. L'étudiante ou l'étudiant cherchera à utiliser ces structures pour (re)prouver la fidélité de la représentation de Khovanov-Seidel, en suivant une stratégie de preuve mise en place en type sphérique par Anthony Licata et Hoel Queffelec (Annales Scientifiques de l'ENS, 2021). Cette fidélité implique notamment celle de la représentation par bimodules de Soergel, qui est conjecturée et est l'objet d'études soutenues depuis une vingtaine d'années.
Dans un second temps, nous chercherons également à relâcher la condition de finitude des atomes pour étendre la classe des groupes d'Artin-Tits sur lesquels appliquer la même stratégie de preuve. L'une des stratégies est notamment d'étendre le groupe d'Artin-Tits pour qu'il contienne un nouvel élément faisant office d'élément de Garside, et qui correspond au décalage triangulé de la catégorie sur laquelle le groupe agit.

Contexte de travail

L'objectif principal est de prouver la fidélité de la représentation de Khovanov-Seidel dans de nouveaux cas, à l'aide d'approche de type Garside. Le développement d'extensions de la théorie de Garside au cas d'un nombre infini d'atomes pourra être également intéressant, et s'appuira sur l'étude des groupes d'automorphismes de certaines catégories triangulées.
Les groupes d'Artin-Tits sont des objets d'étude classiques en théorie des groupes, et sont encore très mal compris. Les approches catégoriques que nous utiliserons ont été introduites par Khovanov et Seidel avec une inspiration symplectique au début des années 2000. Le thème de cette thèse s'inscrit dans un programme de recherche qui vise à utiliser des outils catégoriques pour déduire des résultats géométriques sur les groupes d'autoéquivalences de la catégorie.

Contraintes et risques

Rien à signaler