Description du sujet de thèse

Aspects analytiques et algébrique des lois de branchement en dimension infinie.
En théorie des représentations, un problème de branchement décrit le comportement d'une représentation irréductible π d'un groupe G une fois restreinte à un sous-groupe donné G'. Il s'agit d'une question, certes classique, mais souvent très difficile et protéiforme, tant son analyse dépend de la nature des structures sous-jacentes. Les règles combinatoires de Littlewood-Richardson, les règles de fusion, i.e. la décomposition du produit tensoriel de deux représentations irréductibles, sont des exemples particuliers de ce problème, où le couple (G, G') est de la forme (G1x G1, diag(G1)). Dans le cas où ( G , G') est une paire de groupes réductifs et π est une représentation de dimension infinie de G, les problèmes de branchement incluent divers cas importants tels que la correspondance thêta, les formules de Plancherel, la conjecture de Gan-Gross-Prasad etc.
La construction effective des opérateurs qui réalisent une loi de branchement abstraite dans un modèle géométrique explicite constitue un nouveau champ de recherche très actif. Les crochets de Rankin-Cohen, les opérateurs de Yamabe, de Paneitz, les Laplaciens supérieurs de Fefferman-Graham sont des exemples de tels opérateurs et ont des multiples applications en théorie des nombres, géométrie conforme et en physique théorique via la correspondance AdS/CFT.
Récemment, nous avons développé une nouvelle méthode de construction et d'analyse de tels opérateurs (opérateurs de brisure de symétries), de leurs inverses (opérateurs holographiques) et de leurs « séries génératrices » (opérateurs générateurs) pour une large classes de représentations de dimension infinie des groupes de Lie réductifs correspondant à six géométries paraboliques différentes. Un lien profond avec la théorie des polynômes orthogonaux en une et plusieurs variables a été ainsi mis en évidence [2,3,4].
D'autre part, l'étude algébrique des opérateurs de brisure de symétrie promeut les espaces de multiplicités comme représentations de structures algébriques reliées également aux polynômes orthogonaux et à la physique mathématique. L'algèbre de Racah en est un exemple fondamental pour les lois de branchement des produits
tensoriels de représentations du groupe SL(2) [1,5] et motive l'étude des généralisations à d'autres lois de branchement.
Le présent projet doctoral a pour but d'explorer la structure globale des familles des opérateurs de brisure de symétrie et de leurs transformations holographiques associées en développant les deux approches simultanément grâce à l'expertise complémentaire de l’encadrant et de ses partenaires au sein de l’IRL2025 FJ-LMI du CNRS.
Les résultats de la thèse seront valorisés par des publications scientifiques et des communications lors de conférences.
Références
1. N. Crampé, L. Poulain d'Andecy, L. Vinet, A Calabi-Yau algebra with E6 symmetry and the Clebsch-Gordan series of 𝔰𝔩(3). J. Lie Theory, 31 (2021), 1085–1112.
2. T. Kobayashi, M. Pevzner, Differential symmetry breaking operators. I. General theory and F-method, Selecta Math., 22, (2016), pp. 801-845.
3. T. Kobayashi, M. Pevzner, Differential symmetry breaking operators. II. Rankin-Cohen operators for symmetric pairs, Selecta Math., 22, (2016), pp. 847-911.
4. T. Kobayashi, M. Pevzner, A generating operator for Rankin-Cohen brackets, To appear in J. Funct. Anal., (2025).
5. Q. Labriet, L. Poulain d'Andecy, Realizations of Racah algebras using Jacobi operators and convolution identities. Adv. in Appl. Math. 153 (2024), Paper No. 102620, 31 pp.

Contexte de travail

Le LMR est composé de 35 EC et C en Mathématiques Fondamentales et Appliquées. Le doctorant intègrera l'équipe Groupes et Quantification.
Le candidat devra être titulaire d’un diplôme de Master 2 en Mathématiques Fondamentales. Le poste nécessite de solides connaissances en théorie de Lie,
géométrie différentielle, analyse de Fourier et la théorie des représentations. De bonnes aptitudes de communication orale et écrite en français et en anglais sont nécessaires pour collaborer avec les partenaires du projet et présenter les futurs résultats.
Nous recherchons une personne qui saura s’impliquer dans son projet de recherche, curieuse et autonome avec une forte motivation pour développer ses compétences dans le domaine de la théorie des représentations des groupes et algèbres de Lie.
Les candidatures devront inclure un CV détaillé, deux références (noms des personnes susceptibles d’être contactées), une lettre de motivation, un résumé du mémoire de Master et les relevés de notes de Master 1 et Master 2.

Contraintes et risques

La thèse sera rattachée à l’école doctorale MPSNI de l’université de Reims-Champagne-Ardenne. Des séjours dans l’IRL partenaire à Tokyo seront à prévoir chaque année.