Description du sujet de thèse

Stabilisation prescrite de solutions d'équations aux dérivées partielles


Récemment, nous avons établi un nouveau paradigme de placement partiel des pôles (PPP) pour les équations différentielles fonctionnelles linéaires invariantes dans le temps et certaines classes d'équations différentielles partielles. Le PPP repose sur deux stratégies principales, elles-mêmes certifiées par les propriétés de distribution spectrale des systèmes à retardement : multiplicité-induisant-dominance (MID) et coexistance de racines réelles induisant la dominance (CRRID).

Par conséquent, les propriétés MID et CRRID pourraient être utilisées pour stabiliser les systèmes hyperboliques. Cela ouvrirait la voie à une nouvelle génération de contrôleurs stabilisateurs simples à mettre en œuvre (et ne nécessitant donc pas un coût de calcul élevé) tout en prenant explicitement en compte les retards et le contenu à haute fréquence du modèle (ce qui devrait conduire à une augmentation globale des performances).


L'objectif de cette thèse de doctorat est double. Elle vise à étendre l'utilisation de l'approche PPP à un plus grand nombre de classes d'EDP et à étudier l'effet des non-linéarités sur la décroissance de la solution.


Explorant certaines idées antérieures fournies, par exemple, dans [Pinney1958Ordinary], des travaux récents ont mis en évidence le fait que les valeurs spectrales atteignant leur multiplicité maximale admissible tendent à être dominantes, dans ce qui est devenu connu sous le nom de propriété MID. Depuis ces premiers travaux, plusieurs articles de recherche ont abordé des questions théoriques et appliquées sur la propriété MID, visant à comprendre pour quelles classes de systèmes à retardement un tel lien entre la racine de multiplicité maximale et la racine la plus à droite existe. D'autres travaux récents ont également étudié les liens entre les racines à multiplicité élevée, mais pas nécessairement maximale, et la dominance.

Lorsqu'elle est disponible, cette propriété peut être utile dans la stabilisation des systèmes à retard temporel puisqu'il suffit de sélectionner les paramètres libres du système afin de garantir l'existence d'une telle racine de multiplicité maximale avec une partie réelle négative, et la propriété MID assurera sa dominance. Plusieurs travaux récents ont examiné les applications de la propriété MID dans la stabilisation des systèmes à retard.

Au lieu d'assigner une seule racine de multiplicité maximale, certains travaux récents ont considéré l'assignation d'autant de racines réelles simples que la multiplicité maximale possible pour une racine et ont montré que, dans plusieurs situations, la racine la plus à droite de celles assignées est dominante (pour l'ensemble du spectre), ce qui constitue ce que l'on a appelé la propriété CRRID. L'attribution de plusieurs racines réelles simples au lieu d'une seule racine de grande multiplicité permet d'alléger les contraintes dans la conception de la commande retardée.


La/Le candidat.e recherché.e possède un M2R en mathématiques appliquées avec solide background en systèmes dynamiques et en équations aux dérivées partielles avec de bonnes connaissances en théorie du contrôle.

La/Le candidat.e sélectionné.e sera amené.e à :
-Prendre en main les méthodes spectrales, en particulier la méthode de placement partiel de pôles pour les équations différentielles fonctionnelles.
-Se familiariser avec la théorie des opérateurs, la théorie des semi-groupes, les bases de Riesz ainsi qu'aux théorèmes d'oscillations dans le domaine complexe.
-Se familiariser avec les extensions existantes du placement partiel de poles aux EDP hyperboliques 1D.
-Etendre la méthode de stabilisation prescrite aux EDP hyperboliques multi-dimentionnelles ainsi qu'à d'autres classes d'EDP.
-Prendre en main les codes Python du logiciel P3delta initialement prévu aux équations différentielles fonctionnelles.
-Adapter les codes existant au contexte des EDPs.

Contexte de travail

Cette thèse se déroulera au sein au sein de l'équipe MODESTY du pole Automatique et Systèmes du laboratoire des signaux et systèmes (L2S) qui est une unité mixte de recherche (UMR 8506) du CNRS, de CentraleSupélec et de l’Université Paris-Saclay créée en 1974. Les recherches abordées au L2S portent sur les aspects mathématiques fondamentaux et appliqués de la théorie du contrôle, du traitement des signaux et des images, de la théorie de l’information et des communications.




Le poste se situe dans un secteur relevant de la protection du potentiel scientifique et technique (PPST), et nécessite donc, conformément à la réglementation, que votre arrivée soit autorisée par l'autorité compétente du MESR.

Contraintes et risques

L'ingrédient principal des résultats décrits dans le contexte de la thèse est une représentation intégrale du quasipolynôme correspondant dans les propriétés MID et CRRID. Dans le cas du MID, cette représentation intégrale n'est rien d'autre que la fonction hypergéométrique de Kummer bien connue. Cependant, dans le cas de la CRRID, des fonctions hypergéométriques généralisées sont impliquées. Il s'avère que ces fonctions spéciales sont des outils tout aussi précieux pour l'analyse de la stabilité dans le domaine temporel des systèmes à retard.