Description du sujet de thèse

La géométrie énumérative est la branche des mathématiques dédiée à l’étude de problèmes du type : combien de variétés algébriques satisfont un ensemble donné de contraintes. La thèse sera consacrée à une classe de problèmes associés à la « géométrie énumérative des courbes spin ». Une courbe spin est un ensemble de données comprenant une courbe complexe, ainsi qu’une racine carrée de la ligne co-tangente (structure spin). La structure spin permet la définition d’un invariant topologique (l’invariant d’Arf, qui est + ou -) et permet ainsi d’affiner les problèmes énumératifs pour les « courbes classiques » dont le seul invariant topologique est le genre. Dans la géométrie énumérative des courbes, plusieurs « théorèmes de reconstruction » ont été prouvés, c'est-à-dire des résultats montrant que le problème énumératif pour un genre élevé peut être réduit à des genres inférieurs par induction. De tels théorèmes de reconstruction manquent pour les courbes spin. En particulier, nous allons étudier les analogues de :

- Le théorème de reconstruction de Teleman pour les CohFTs semi-simples [1]

- La correspondance GW/Hurwitz [2,3]

- La théorie locale des courbes de Bryan-Pandharipande [4]

De plus, il est conjecturé que les invariants énumératifs des courbes spin partagent plusieurs propriétés structurelles avec les invariants énumératifs des courbes réelles [5,6]. Par conséquent, les outils développés pour décrire les invariants dans un cadre spin pourraient fournir de nouveaux résultats dans le contexte réel.

[1] Constantin Teleman. The structure of 2D semi-simple field theories. Invent. Math., 188(3):525–588, 2012.

[2] Andrei Okounkov and Rahul Pandharipande. “Gromov-Witten theory, Hurwitz theory, and completed cycles”. In: Ann. Math. 163 (2006), pp. 517–560.

[3] Alessandro Giacchetto, Reinier Kramer, Danilo Lewan ́ski, and Adrien Sauvaget. The Spin Gromov-Witten/Hurwitz correspondence for P 1 . Preprint, arXiv:2208.03259 [math.AG] (2022).

[4] Jim Bryan and Rahul Pandharipande. “The local Gromov-Witten theory of curves”. English. In: J. Am. Math. Soc. 21.1 (2008), pp. 101–136.

[5] Penka Georgieva and Aleksey Zinger. “Real Gromov-Witten theory in all genera and real enumerative geometry: construction”. English. In: Ann. Math. (2) 188.3 (2018), pp. 685–752.

[6] Penka Georgieva and Aleksey Zinger. “Real Gromov-Witten theory in all genera and real enumerative geometry: properties”. English. In: J. Symplectic Geom. 17.4 (2019), pp. 1083– 1158.

Contexte de travail

La thèse sera supervisée par Adrien Sauvaget (CNRS) and Penka Georgieva (Sorbonne Université).