Résolution haute performance d'équations différentielles linéaires à précisions multiples (H/F)

Description du Poste

Sujet De Thèse

L'objectif de cette thèse est de développer des algorithmes haute performance pour l'évaluation efficace de fonctions holonomes, c'est-à-dire des fonctions f qui satisfont une équation différentielle linéaire non triviale L_r(z) f^(r)(z) + ⋯ + L_0(z) f(z) = 0 pour des polynômes L_0, …, L_r ∈ ℂ[z].
L'accent principal sera mis sur l'exploitation des capacités des processeurs modernes de manière aussi complète que possible. Un large éventail de précisions cibles sera étudié, de la précision machine à la haute précision, tout en considérant également des précisions intermédiaires intéressantes pour les applications. Les nouveaux algorithmes seront implémentés et testés dans le cadre de la bibliothèque C++ JIL. En fonction des premiers résultats, les algorithmes pourront également être étendus à des équations différentielles plus générales.

Cet objectif général implique plusieurs éléments. Tout d'abord, l'arithmétique à virgule fixe ou flottante sous-jacente doit être choisie ou conçue avec soin. Comment représenter les nombres à précision fixe et flottante intermédiaire ? Comment exploiter les instructions SIMD (single instruction multiple data) pour accélérer les évaluations ? Pour une précision cible spécifique, comment concevoir l'implémentation la plus efficace dédiée à cette précision ? Si nécessaire, le candidat prolongera des techniques proposés par van der Hoeven et Lecerf.

Pour les petites et moyennes précisions, les stratégies d'évaluation naïves sont souvent les plus efficaces, mais il n'est pas trivial de les implémenter de manière à exploiter au mieux le matériel moderne. L'idée est de générer automatiquement du code pour l'évaluation des fonctions holonomes sous la forme de programmes en ligne droits (SLP) tels que fournis par la bibliothèque JIL. Afin de rendre cette intégration fluide, il sera probablement nécessaire d'étendre JIL avec de nouvelles fonctionnalités linguistiques et de nouvelles stratégies de compilation dédiées aux SLP. Repousser les limites du cadre SLP sera l'un des défis théoriques et pratiques de cette thèse.

Un cas particulier d'intérêt est celui des fonctions élémentaires (par exemple, trigonométriques et hyperboliques) et spéciales (par exemple, Bessel). Beaucoup de ces fonctions sont holonomes ou peuvent être exprimées en termes de fonctions holonomes, mais elles satisfont également des propriétés plus spécifiques qui permettent des stratégies additionnelles. Ici, le principal scénario où des progrès peuvent être attendus est celui des précisions intermédiaires au-delà de l'ensemble discret couvert par la libm standard C, mais où la pleine puissance des bibliothèques de précision multiple comme MPFR ou FLINT pourrait être excessive.

Enfin, nous avons l'intention d'explorer la complexité théorique et pratique de l'évaluation des fonctions holonomes. Il est maintenant classique que les fonctions holonomes peuvent être évaluées rapidement à très haute précision. Cependant, la plupart des estimations de complexité utilisent la précision cible comme seul paramètre. Il serait intéressant de mieux comprendre le coût d'évaluation en fonction du point d'évaluation et de la complexité de l'équation différentielle à résoudre. Cela inclut une étude plus fine des basses et moyennes précisions, qui peut être soutenue par des mesures de temps concrètes, idéalement. Dans le même ordre d'idées, nous souhaitons mieux comprendre la relation entre complexité, stabilité et singularités.

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