Description du sujet de thèse

Comment prédire le mouvement des planètes, la propagation d'une épidémie ou l'évolution d'un réseau de réactions chimiques ? Voici quelques-uns des nombreux problèmes qui peuvent être modélisés par des équations différentielles ordinaires (EDO). La résolution de ces équations a une longue histoire et reste un problème important en science et en technologie.

L'algèbre différentielle est une branche des mathématiques et de l'informatique qui s'intéresse à l'étude des équations différentielles d'un point de vue symbolique et informatique. L'idée est d'utiliser les méthodes algébriques telles que la réécriture ou l'élimination des variables pour simplifier ou transformer les équations différentielles.

En outre, des algorithmes ont été développés et mis en œuvre pour ce type d'élimination de quantificateurs et d'autres tâches fondamentales de l'algèbre différentielle.

L'approche traditionnelle de l'algèbre différentielle consiste à raisonner sur les équations différentielles elles-mêmes en tant qu'expressions symboliques. L'un des inconvénients de cette approche est que les résultats intermédiaires du calcul peuvent être des expressions très grandes (imaginez la différenciation du produit y1(z) y2(z) y3(z) dix fois !) L'objectif de la présente proposition est de travailler systématiquement avec des solutions en séries formelles. Ces solutions sont déterminées de manière unique par les équations différentielles et un nombre suffisant de conditions initiales. Par exemple, les solutions en séries de y'' + (y')^2 = 0 sont y_(α,β)(z) ≔ α+log (1+β*z) = α + βz - 1/2 β^2 z^2 + ⋯, avec les conditions initiales y_(α,β)(0)=α, y_(α,β)'(0)=β. Inversement, toute équation différentielle dont y_(α,β) est solution est une conséquence logique de y''+(y')^2=0.

De ce point de vue, les systèmes d'équations différentielles donnent lieu à des systèmes d'équations algébriques sur des coefficients de séries formelles. Par exemple, l'équation y''+(y')^2=0 dans y=y_0 + y1 z + y2 z^2+⋯ est équivalente au système infini d'équations 2 y2 + y1^2 = 6 y3 + 4 y1 y2 = 12 y4 + 6 y1 y3 + 4 y2^2 = ⋯ = 0 en y0, y1, ..... Les troncatures de ces systèmes peuvent être résolues en utilisant des homotopies numériques. Cela signifie que nous étudions l'effet de petites perturbations des conditions initiales α,β sur la solution y_(α,β). Nous pouvons également envisager des déformations des équations elles-mêmes en équations qui sont généralement plus faciles à résoudre.

Lorsqu'elles sont efficaces, les techniques d'homotopie numérique nous permettent de déterminer les solutions des séries formelles numériques pour notre système original d'équations différentielles. Un dernier défi consiste à retrouver la ou les équations différentielles les plus simples dont ces séries formelles numériques sont la solution. Cela permet généralement de simplifier le système original d'équations différentielles ou d'éliminer certaines fonctions inconnues. Nous prévoyons enfin de combiner la continuation par homotopie et l'interpolation creuse afin de calculer les équations différentielles satisfaites par les solutions des séries formelles.

En résumé, l'objectif principal de la thèse est de construire un pont entre l'algèbre différentielle et des ensembles de solutions en séries formelles numériques. Ce pont devrait être aussi efficace que possible et conduire à de nouveaux algorithmes plus performants pour des problèmes typiques de l'algèbre différentielle, tels que la simplification des systèmes d'équations différentielles, l'élimination des quantificateurs, la découverte de contraintes cachées ou l'identification des paramètres. En fonction de son profil, le candidat pourra mettre davantage l'accent sur les aspects théoriques ou pratiques de ce programme.

Nous recherchons d'excellents candidats dotés d'une solide formation en
mathématiques et en informatique. Des connaissances dans au moins un des
domaines suivants sont requises : théorie de la complexité, calcul
différentiel, algèbre commutative, calcul formel. Des compétences générales en
informatique sont nécessaires pour contribuer à des implantations efficaces.
De l'expérience préalable en calcul différentiel, méthodes par homotopie,
et/ou interpolation creuse serait un atout.

Contexte de travail

La thèse sera effectuée au laboratoire LIX (Laboratoire d'Informatique de
l'École polytechnique), qui se situe dans le bâtiment Alan Turing, 1, rue
Honoré d'Estienne d'Orves, Palaiseau. La thèse sera effectuée dans l'équipe
MAX de calcul formel et financée par le project ANR PRME NODE. La candidate ou
le candidat disposera d'un poste de travail et de moyens pour assister à
quelques conférences par an.

Contraintes et risques

Néant.