Description du sujet de thèse

Décrire les dynamiques écologiques et évolutives conjointes des espèces est un objectif majeur de la recherche sur la biodiversité. Cela est particulièrement crucial dans l'étude des espèces invasives ou dans l'étude de l'impact de l'hétérogénéité environnementale sur la survie et la distribution des caractéristiques biologiques d'une population. La modélisation mathématique joue traditionnellement un rôle majeur dans l'étude de tels phénomènes. Dans ce projet, nous nous intéressons à une classe de modèles décrivant la reproduction sexuée via un opérateur de collision connu sous le nom d'opérateur infinitésimal. Plusieurs méthodes mathématiques ont récemment été développées pour aborder de tels modèles [6, 8, 9, 3, 7]. Néanmoins, des questions majeures demeurent ouvertes, nécessitant l'introduction de nouveaux outils pour l'analyse de ces équations tant du point de vue théorique que numérique. Ce projet contribuera au développement de telles méthodes.

Ce projet de doctorat se concentre sur l'analyse théorique et numérique d'une classe d'équations intégro-différentielles impliquant l'opérateur infinitésimal, et éventuellement un terme de diffusion modélisant la dispersion des individus. Nous nous intéressons à un régime de faible variance phénotypique qui introduit un petit paramètre dans le modèle. Dans ce régime, les solutions se concentrent généralement autour d'un seul point, dans la variable des traits, avec un profil proche d'une distribution gaussienne, et se propagent le long de la variable spatiale. L'objectif de ce projet est de capturer de tels phénomènes d'une part par l'analyse asymptotique du problème et d'autre part par le développement de schémas numériques adaptés.

Le projet s'appuiera sur les méthodes récentes pour l'analyse du modèle infinitésimal introduites dans [4] à l'aide d'une approche basée sur l'analyse des moments, ou dans [5] en utilisant une approche hilbertienne. Il s'appuiera également sur les méthodes récentes en analyse numérique des équations cinétiques impliquant les polynômes de Hermite [1,2].

[1] M. Bessemoulin-Chatard and F. Filbet, On the stability of conservative discontinuous Galerkin/Hermite spectral methods for the Vlasov-Poisson system, Journal of Computational Physics, (2022).
[2] M. Bessemoulin-Chatard and F. Filbet, On the convergence of discontinuous Galerkin/Hermite spectral methods for the Vlasov-Poisson system, (2023).
[3] V. Calvez, J. Garnier, and F. Patout, A quantitative genetics model with sexual mode of reproduction in the regime of small variance, J. Ec. Polytech. - Math., (2019).
[4] J. Guerand, M. Hillairet, and S. Mirrahimi, A moment-based approach for the analysis of the infinitesimal model in the regime of small variance, Kinetic and Related Models, (2025).
[5] M. Hillairet and S. Mirrahimi, On the steady solutions of the infinitesimal model ; a hilbert structure, In preparation.
[6] S. Mirrahimi and G. Raoul, Population structured by a space variable and a phenotypical trait,Theor. Popul. Biol., (2013).
[7] F. Patout, The cauchy problem for the infinitesimal model in the regime of small variance, Analysis & PDE, 16 (2023).
[8] G. Raoul, Macroscopic limit from a structured population model to the Kirkpatrick-Barton model, Preprint arXiv :1706.04094, (2017).
[9] G. Raoul, Exponential convergence to a steady-state for a population genetics model with sexual reproduction and selection, Preprint arXiv :2104.06089, (2021).

Contexte de travail

La personne recrutée sera située à l'institut de mathématiques de Toulouse (IMT). La thèse sera encadrée conjointement par Matthieu Hillairet (Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck) et Sepideh Mirrahimi (IMT). Plusieurs séjours longs et courts seront prévus à l'Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck. Le projet de thèse sera financé par le projet ERC MUSEUM (2025-2030), qui s'intéresse à l'analyse asymptotique des équations intégro-différentielles non conventionnelles issues de la biologie évolutive, et des processus stochastiques associés. La personne recrutée interagira également avec les autres membres du projet ERC.
La thèse durera trois ans, à partir du 1er septembre ou octobre 2025.

Contraintes et risques

La thèse sera rattachée à l'Institut de Mathématiques de Toulouse. Plusieurs déplacements à Montpellier sont prévus dans le cadre du projet, incluant des séjours courts et longs.

Informations complémentaires

Prérequis : Il est souhaitable que le/la candidat.e ait suivi une formation de qualité en mathématiques durant ses études de premier cycle et de master, et qu'il/elle dispose d'une solide base en analyse des équations aux dérivées partielles. La connaissance des outils pour l'étude des équations cinétiques avec un opérateur de collision et l'analyse asymptotique des équations aux dérivées partielles constituera un atout majeur. Une expérience en modélisation mathématique des phénomènes biologiques et éventuellement en analyse numérique sera également appréciée.
Les candidats devront fournir:
-un CV incluant les relevés de notes du M1 et M2
-une lettre de motivation (maximum 1 page) exposant leurs objectifs professionnels, intérêts scientifiques ainsi que le nom et coordonnées d'une personne référente pouvant fournir une lettre de recommandation