Missions

Le projet proposé fait partie d'un programme de recherche en mécanique des solides à l'interface avec d'autres disciplines. Il porte principalement sur les méthodes multi-échelles en mécanique, c'est-à-dire la théorie de l'homogénéisation et son implémentation numérique dans des outils de calcul scientifique pour l'ingénierie. Situé au carrefour de plusieurs disciplines, dont les mathématiques appliquées et l'électromagnétisme, notre objectif est d'apporter un regard original et novateur sur un certain nombre de problèmes touchant aux méthodes multi-échelles aujourd'hui largement utilisées en mécanique du solide. En jetant des ponts avec les domaines de la photonique, de la plasmonique et de l'étude mathématique des opérateurs intégraux, nous visons à proposer une théorie spectrale qui permettra d'améliorer la modélisation et les performances de méthodes numériques d'homogénéisation en mécanique. Ceci nous permettra de progresser dans la compréhension et la prédiction du comportement des matériaux hétérogènes complexes tels que les composites, qui sont des matériaux à hautes performances aujourd'hui largement utilisés dans des domaines tels que l'aéronautique et l'espace, la construction durable et la production d'énergie.

En mécanique des solides, les méthodes d'homogénéisation numérique basées sur la transformée de Fourier rapide (FFT) à partir d'images de microstructures constituent des approches compétitives pour aborder les problèmes matériaux aux petites échelles. Ces approches reposent sur une formulation intégrale des équations régissant le problème local dans un volume élémentaire représentatif V. Cela a ouvert la voie à de nombreux développements et outils numériques largement utilisés aujourd'hui en homogénéisation numérique. La formulation utilisée est basée sur l'équation intégrale dite de Lippmann-Schwinger, une équation que l'on retrouve dans de nombreux domaines tels que l'étude de la diffraction en mécanique quantique, la propagation des ondes en électromagnétisme mais aussi en mécanique classique (acoustique ou élastique). Cette équation régit la solution en déformation dans V pour un chargement macroscopique donné. Dans le cas linéaire, elle s’exprime en fonction de l'opérateur de Green associé à un milieu de référence homogène et de la fluctuation des propriétés du matériau considéré autour de cette référence. L'introduction de ce milieu de comparaison est une nécessité pour la mise en œuvre des algorithmes basés sur la FFT. Cependant, une telle réécriture du problème local de mécanique introduit une fluctuation matérielle qui induit un changement de signe fictif.

Activités

Dans ce contexte, ce projet se concentre sur l'opérateur intégral impliqué dans l'équation ci-dessus et sur ses propriétés. Le programme de recherche proposé est divisé en deux axes principaux :
- Équation de Lippmann-Schwinger et opérateurs intégraux de surface : Le premier axe de recherche vise à mieux comprendre les phénomènes générés par l'introduction du milieu de référence, qui conduit à l'émergence de résonances de surface, appelées plasmons dans le domaine de l'électromagnétisme, aux interfaces entre les différents constituants matériels. Démontrer l'existence de telles résonances en relation avec les propriétés de l'opérateur intégral considéré, les caractériser d’un point de vue théorique et les mettre en évidence numériquement constitueront une première étape importante de ce projet. Ce type de phénomène est bien connu dans le domaine de l'électromagnétisme, bien que dans un contexte complètement différent (à l'interface d'un matériau métallique et d'un matériau diélectrique) et lié à des paramètres à changement de signe. Le lien sera établi sur la base de l'étude de la formulation en intégrales de volume utilisée en mécanique et de certains opérateurs d'intégrales de frontière déjà connus, tels que l'opérateur dit de Neumann-Poincaré.
- Calcul scientifique : Le deuxième axe de recherche se concentrera sur les outils de calcul scientifique. Le code de simulation numérique FFT pour l'homogénéisation est le code CRAFT https://lma-software-craft.cnrs.fr. En relation avec l'axe précédent, il est prévu que ce type d'outil, dédié à la résolution de l'équation ci-dessus à partir d'images, soit comparé à l'outil spécifique Inti.jl https://github.com/IntegralEquations/Inti.jl dédié à la discrétisation et à l'approximation d'ordre élevé d'opérateurs intégraux de frontière dans des géométries complexes en 2D et 3D.

Compétences

La personne recrutée doit être titulaire d'un doctorat au moment de sa nomination et posséder une solide expérience en mathématiques appliquées, calcul scientifique, mécanique théorique ou numérique, théorie spectrale.

Contexte de travail

L'équipe constituée pour ce projet est pluridisciplinaire et implique trois laboratoires conjointement affiliés au CNRS et à Aix-Marseille Université. Les membres de ce projet sont :
Cédric Bellis et Hervé Moulinec au Laboratoire de Mécanique et d'Acoustique (LMA), Florian Monteghetti à l'Institut de Mathématiques de Marseille, Maxence Cassier et Alice Vanel à l'Institut Fresnel. La personne recrutée rejoindra le LMA et interagira avec tous les membres du projet.