Description du sujet de thèse

Titre : Généalogie des particules extrêmes des processus de branchement et liens avec des observables de physique des particules

Le mouvement brownien branchant (MBB) est un système de particules qui se déplacent de façon continue et se reproduisent indépendamment les unes des autres. Il s'agit de l’un des processus de branchement spatiaux les plus simples. Le MBB est un modèle actuellement très étudié en mathématiques, en raison de ses liens avec la célèbre équation dite de réaction-diffusion de Fisher-Kolmogorov-Petrovsky-Piscounov (FKPP) (voir e.g. [1,2,3]).

Les processus de branchement dans la classe d’universalité du MBB sont omniprésents dans les sciences physique et naturelles. Ils apparaissent par exemple en physique des verres de spin, en chimie, en biologie de l’évolution, etc... et de façon peut-être plus surprenante, également en physique des particules. En effet, l'état d'interaction de particules quantiques est génériquement un ensemble aléatoire de particules élémentaires, qui dans un certain régime pertinent aux collisionneurs de très haute énergie, apparaissent générées par un processus de branchement de la classe d'universalité du MBB [4] (cf la figure). Les sections efficaces totales peuvent être mises en correspondance avec la statistique des valeurs extrêmes de ce processus. Les généalogies des particules extrêmes [5], dont l'étude détaillée est l’objet de ce projet, correspondent à des observables d'état final [6]. Leur compréhension qualitative débouchera sur des prédictions pour les sections efficaces diffractives électron-noyau, qui pourront être comparées à des mesures du futur collisionneur d’électrons et d’ions (EIC) en projet aux USA.

Les objectifs principaux de la thèse de doctorat proposée seront d’une part, de décrire la loi et les relations généalogiques des particules extrêmes du MBB, et d’autre part, d’établir des correspondances quantitatives avec des observables mesurées dans les collisions électron-hadron, comme par exemple la répartition angulaire de la masse diffractée dans l'état final. En fonction de l’avancement du projet, nous pourrons être amenés à étendre l’étude au cas des processus de branchement-sélection, qui sont également pertinents en physique des particules (cf la figure et les références [7,8]). Le rôle du doctorant ou de la doctorante sera à la fois de participer à l'élaboration des preuves mathématiques, et de développer une intuition physique permettant de formuler des conjectures sur les propriétés des particules générées par un processus de branchement.

La thèse, financée dans le cadre d’un projet de la Mission pour les initiatives transverses et interdisciplinaires du Centre national de la recherche scientifique (CNRS), aura une durée de 3 ans, et débutera idéalement le 1er octobre 2025.

Bibliographie :
[1] E. Aïdékon, J. Berestycki, É. Brunet, and Z. Shi. Branching Brownian motion seen from its tip. Probab. Theory Relat. Fields, 157(1-2) :405–451, 2013.
[2] L. Mytnik, J.-M. Roquejoffre, and Lenya Ryzhik. Fisher-KPP equation with small data and the extremal process of branching Brownian motion. Adv. Math., 396:58, 2022. Id/No 108106.m
[3] P. Maillard and M. Pain. 1-stable fluctuations in branching Brownian motion at critical temperature I: The derivative martingale. Ann. Probab. 47, no. 5, 2953–3002, 2019.
[4] A.-K. Angelopoulou, A. D. Le, and S. Munier. Scattering from an external field in quantum chromodynamics at high energies : from foundations to interdisciplinary connections. arXiv:2311.14796.
[5] B. Derrida and P. Mottishaw. On the genealogy of branching random walks and of directed polymers. EPL, 115(4):40005, August 2016.
[6] A. D. Le, A. H. Mueller, and S. Munier. Analytical asymptotics for hard diffraction. Phys. Rev. D, 104:034026, 2021.
[7] É. Brunet, B. Derrida, A. H. Mueller, and S. Munier. Effect of selection on ancestry : An exactly soluble case and its phenomenological generalization. Physical Review E, 76(4), October 2007.
[8] A. Cortines and B. Mallein. A N-branching random walk with random selection. ALEA, Lat. Am. J. Probab. Math. Stat., 14(1):117–137, 2017.

Contexte de travail

La doctorante ou le doctorant sera basé(e) au Centre de physique théorique (CPHT) de l'École polytechnique, où il ou elle sera encadré(e) par Stéphane Munier. Plusieurs séjours longs sont prévus au sein de l'Institut de mathématiques de Toulouse (IMT), où il ou elle sera encadré(e) par Bastien Mallein (porteur du projet). Il ou elle pourra également échanger avec plusieurs autres membres de l'IMT également membres du projet MITI.

Le CPHT est une unité mixte du Centre national de la recherche scientifique (CNRS), acteur majeur de la recherche fondamentale à l’échelle mondiale et seul organisme français actif dans tous les domaines scientifiques, et de l'École polytechnique. L'École polytechnique est l'une des universités scientifiques et techniques françaises les plus sélectives. Situé sur le campus de l'Institut Polytechnique de Paris (IP Paris) à Palaiseau, à 30 minutes de Paris, le CPHT rassemble une centaine de chercheurs, dont 34 chercheurs permanents, répartis en 5 groupes thématiques : physique des particules, théorie des cordes, physique mathématique, matière condensée, théorie des plasmas. Le doctorant ou la doctorante sera intégré(e) au groupe de physique mathématique.

L’IMT est une unité mixte du CNRS, et rassemble 240 enseignants-chercheurs et chercheurs permanents, ingénieurs, techniciens et administratifs ainsi que 120 doctorants et environ 30 post-doctorants en moyenne. Il s'agit du plus grand laboratoire de mathématiques du sud-ouest, localisé à Toulouse et dépend de six tutelles: le CNRS, l’INSA, l’INUC, l’Université Toulouse 1 Capitole, l’Université Toulouse-Jean Jaurès, l’Université Toulouse 3-Paul Sabatier. Les thèmes de recherche du laboratoire couvrent l’ensemble des domaines mathématiques depuis les aspects les plus théoriques jusqu’aux plus appliqués et s’organisent autour de 6 équipes qui correspondent à des sous-disciplines mathématiques. Le doctorant ou la doctorante sera rattachée à l'équipe Probabilités, dont les thématiques de recherche incluent l'étude des inégalités fonctionnelles, des matrices aléatoires, des processus de branchements, et de la physique mathématiques.

En plus de leur travail de recherche, le doctorant ou la doctorante suivront des cours parmi ceux proposés par l'École doctorale d'IP Paris. Il ou elle aura également la possibilité d'enseigner si elle ou il le souhaite, et en fonction des postes vacants à l'École polytechnique.

Contraintes et risques

La thèse sera rattachée à l’école doctorale de l'Institut Polytechnique de Paris. Plusieurs déplacements à Toulouse seront programmés dans le cadre du projet, dont de l'ordre de trois séjours longs d'une durée d'un mois.