Contrat doctoral Probabilités et statistiques Orléans Tours H/F

Description du Poste

Sujet De Thèse

Sujet de thèse
Proposé par : L. Delsol & M. Zani (Université d’Orléans) ; M. Peigné & K. Raschel (Université de Tours)
Propriétés de persistance de marches aléatoires et de processus autorégressifs sur ℝ : perspectives probabilistes et statistiques
Soit θ un paramètre fixé supérieur à 1. Considérons une suite (ξₙ)ₙ≥0 de variables aléatoires réelles centrées, indépendantes et identiquement distribuées, de loi μ, définies sur un espace probabilisé (Ω, ℱ, ℙ). On définit :
• Y₀(θ) = 0
• Yₙ(θ) = ξ₁ + θξ₂ + ... + θⁿ⁻¹ξₙ
On définit aussi :
• p(θ) = limₙ→∞ pₙ(θ), où pₙ(θ) = ℙ(S₁(θ), ..., Sₙ(θ) positifs).
Ici, θ est appelé paramètre de couplage, et pₙ(θ) représente la probabilité de persistance jusqu’au temps n pour la suite (Yₖ(θ))ₖ≥0.
La quantité p(θ) est positive pour θ plus grand que 1. On s’intéresse en particulier au comportement de la fonction θ ↦ p(θ) au voisinage de 1. Il est connu que p(1) = 0, car le processus autorégressif devient une marche aléatoire lorsque le paramètre de couplage vaut 1.
Il a été conjecturé que cette fonction se comporte universellement comme la racine carrée de (θ − 1) dans une région voisine de 1. Dans un travail récent actuellement en préparation, L. H. Ngo (Université nationale d’éducation de Hanoï), M. Peigné et K. Raschel ont établi cette propriété sous des hypothèses restrictives (notamment, la mesure μ doit admettre une densité à support compact). Leur approche s’appuie sur une idée due à Z. Kabluchko (Université de Münster) et repose sur la convergence du processus (Yₖ(θ))ₖ≥0, convenablement normalisé, vers un processus de Ornstein-Uhlenbeck explosif. Ce travail dépend fortement de résultats dus à D. Denisov, A. Sakhanenko et V. Wachtel sur des marches aléatoires à incréments non identiquement distribués.

Questions de recherche
1. Extension des résultats d’universalité
La première question consiste à étendre ce résultat d’universalité à des lois de probabilité à support non borné, qui n’admettent pas nécessairement une densité par rapport à la mesure de Lebesgue. Cela nécessite d’étendre les résultats antérieurs sur les fluctuations de marches aléatoires construites à partir de tableaux triangulaires, en adaptant l’approche aux particularités du modèle autorégressif.
2. Probabilité de persistance pour des marches aléatoires oscillantes
Le comportement de la probabilité de persistance lorsque n → ∞ se pose naturellement aussi pour d’autres modèles que les « marches aléatoires classiques ». En particulier, le problème reste entièrement ouvert pour les marches aléatoires oscillantes, où les incréments sont régis par deux mesures de probabilité distinctes sur ℝ⁺ et ℝ⁻. L’approche introduite récemment, basée sur la théorie du renouvellement d’une suite apériodique d’opérateurs, semble prometteuse pour traiter ce problème difficile. Les applications sont nombreuses, notamment en dynamique des populations en milieux aléatoires non homogènes.
3. Tests statistiques pour les marches aléatoires oscillantes
Sous des hypothèses suffisamment fortes sur les moments, les marches aléatoires oscillantes satisfont un résultat de type théorème central limite, avec comme loi limite la marge d’un mouvement brownien asymétrique (skew Brownian motion), dont les paramètres peuvent être déterminés explicitement. Le développement de tests statistiques pour ces modèles reste à explorer : estimation des moyennes et des variances de chaque loi d’incrément, estimation des paramètres de la loi limite, etc. Ce travail s’inscrit dans la théorie des tests statistiques pour des systèmes autorégressifs présentant des phénomènes de transition, et s’appuiera sur des résultats récents concernant les tests pour le mouvement brownien asymétrique.
4. Probabilités de persistance pour des processus autorégressifs à dépendance plus forte
On peut également étudier les probabilités de persistance pour des processus autorégressifs ayant un indice de dépendance plus élevé. On sait très peu de choses sur leur persistance, à part l’existence de l’exposant de persistance. Des travaux récents suggèrent des liens avec des marches aléatoires dans des cônes, bien que ces liens ne soient pas encore formalisés. Il s’agit d’une nouvelle direction de recherche large et ouverte, adaptable selon l’avancement du/de la doctorant(e).

Encadrement
• L. Delsol : 25%
• M. Zani : 30%
• M. Peigné : 25%
• K. Raschel : 20%

Références
• Aurzada, F., Mukherjee, S., & Zeitouni, O. (2021) : Persistence exponents in Markov chains. Ann. Inst. Henri Poincaré, Probab. Stat.
• Dembo, A., Ding, J., & Yan, J. (2019) : Persistence versus stability for auto-regressive processes. arXiv:1906.00473
• Denisov, D., Sakhanenko, A., & Wachtel, V. (2018) : First-passage times for random walks with nonidentically distributed increments. Ann. Probab.
• Denisov, D., Sakhanenko, A., & Wachtel, V. (2021) : First-passage times for random walks in the triangular array setting. Prog. Probab.
• Lejay, A., & Pigato, P. (2018) : Statistical estimation of the Oscillating Brownian Motion. Bernoulli.
• Lejay, A., & Mazzonetto, S. (2024) : Maximum likelihood estimator for skew Brownian motion: The convergence rate. Scand. J. Stat.
• Peigné, M., Pham, D.C., & Vo, T.D. (2025) : A local limit theorem for oscillating random walks. arXiv:2509.15647
• Ngo, L.H., Peigné, M., & Raschel, K. (2025+) : Universal behavior of persistence probabilities for some autoregressive sequences. Travail en cours.
• Teräsvirta, T. (1994) : Specification, Estimation, and Evaluation of Smooth Transition Autoregressive Models. Journal of the American Statistical Association.

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