Description du sujet de thèse

Les complexes polytopaux discrets sont des méthodes numériques récentes, dont le but est de concevoir des approximations d’ordre arbitraire d'équations aux dérivées partielles (EDP); ces approximations sont conçues pour être applicables sur des maillages polytopaux généraux (constitués de polygones génériques en 2D, de polyèdres en 3D). L’aspect bien-posé de nombreux modèles d'EDP repose sur des propriétés spécifiques des opérateurs différentiels qu'ils impliquent (gradient, divergence, rotationnel, Hessien, etc.). Ces propriétés sont encodées dans le concept de "complexes de Hilbert", et doivent être reproduites au niveau discret pour assurer la robustesse des approximations numériques des modèles. Dans cette thèse, nous considérerons des complexes discrets, un exemple étant le complexe de De Rham discret [1]. Suivant l'approche de [2], nous chercherons à concevoir des versions discrètes de complexes étendus (par exemple, le complexe Hessien) via la construction BGG générique. Les propriétés algébriques et analytiques des complexes discrets résultants seront établies, éventuellement en utilisant le cadre de calcul extérieur polytopal générique de [3]. Des applications spécifiques seront considérées et mises en œuvre numériquement et testées dans la bibliothèque C++ HArDCore.
Cette thèse est financée par le projet ERC Synergy "NEMESIS".

Références bibliographiques
[1] D. A. Di Pietro and J. Droniou. An arbitrary-order discrete de Rham complex on polyhedral
meshes: Exactness, Poincaré inequalities, and consistency. Found. Comput. Math., 2023, 23:85–
164. DOI: 10.1007/s10208-021-09542-8
[2] D. Arnold and K. Hu. “Complexes from Complexes”. Found. Comput. Math., 2021, 6:1739:1774. doi: 10.1007/s10208-021-09498-9.
[3] An exterior calculus framework for polytopal methods. Francesco Bonaldi, Daniele A. Di Pietro,
Jerome Droniou, and Kaibo Hu, 41p, 2024. url: https://arxiv.org/abs/2303.11093.

Contexte de travail

Le candidat recruté mènera ses recherches à l’IMAG, au sein de l’équipe du projet ERC NEMESIS, porté à l’IMAG par deux responsables scientifiques, Jérôme Droniou (CNRS) et Daniele Di Pietro (Université de Montpellier).
Situé sur le Campus Triolet de l’Université de Montpellier, l’IMAG est un des portails vers les mathématiques en Occitanie. Il comprend 170 membres et est composé en 4 équipes de recherche : Analyse, Calcul Scientifique et Optimisation de Montpellier (ACSIOM), Didactique et Epistémologie des Mathématiques (DEMA), Equipe de Probabilité et Statistique (EPS), Géométrie, Topologie et Algèbre (GTA).

Contraintes et risques

Aucun risque en particulier.
Tous les échanges liés à la recherche se feront en anglais.
Le candidat doit être titulaire d’un Master en Mathématiques appliquées ou d’un diplôme d’ingénieur.
Une expérience en programmation est également recommandée.

Informations complémentaires

Projet ERC Synergy NEMESIS : https://erc-nemesis.eu/