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Thèse en Mathématiques (H/F) : Schémas de convection pour les équations de Navier-Stokes sur maillages généraux

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Informations générales

Référence : UMR7373-MARRIG-006
Lieu de travail : MARSEILLE 13
Date de publication : jeudi 25 juin 2020
Nom du responsable scientifique : Madame Raphaèle HERBIN
Type de contrat : CDD Doctorant/Contrat doctoral
Durée du contrat : 36 mois
Date de début de la thèse : 1 septembre 2020
Quotité de travail : Temps complet
Rémunération : 2 135,00 € brut mensuel

Description du sujet de thèse

La thèse sera co-encadrée par Raphaèle Herbin (I2M) et Jean-Claude Latché (IRSN Cadarache). L'étudiant(e) sera inscrite à l'ED 184 « Mathématiques et Informatique de Marseille ».

Dans les simulations effectuées pour les études de sûreté nucléaire, les écoulements sont décrits la plupart du temps par des équations de bilan, et notamment les équations de Navier-Stokes constituées des bilans de masse et de quantité de mouvement, où les termes de convection sont dominants, et ce quelle que soit la modélisation de la turbulence choisie : modèles statistiques en un point, dits modèles RANS (pour Reynolds Averaged Navier-Stokes), ou simulation des grandes échelles [6, 2]. C'est le cas, par exemple, pour la simulation des incendies dans des locaux confinés et ventilés mécaniquement ou pour la modélisation des déflagrations turbulentes, phénomènes décrits par des logiciels (ISIS et P2REMICS respectivement) basés sur la librairie de composants pour la mécanique des fluides CALIF3S, développée à l'IRSN.
Par ailleurs, ISIS comme P2REMICS ont pour finalité la réalisation d'applications industrielles, d'où la nécessité de traiter des géométries tridimensionnelles complexes, avec notamment des frontières courbes, l'exemple le plus simple étant un tuyau de section circulaire.
Ce contexte rend nécessaire la mise en œuvre dans CALIF3S de discrétisations à la fois stables et précises de l'opérateur de convection, de type volumes finis, sur maillages aussi généraux que possibles. En outre, l'approximation en espace utilisée dans CALIF3S est une discrétisation à mailles décalées : les inconnues scalaires sont associées aux cellules du maillage alors que la vitesse est associée aux faces des cellules (ou, de manière équivalente, à un maillage dit dual, constitué de volumes de contrôle centrés sur les centres des faces). Deux opérateurs de convection discrets sont donc mis en œuvre, le premier basé sur le maillage initial (ou primal) et le second basé sur le maillage dual, les caractéristiques géométriques de ces deux maillages étant sensiblement différentes.

L'objectif de cette thèse est de développer un ou des opérateurs discrets de convection performants pour les écoulements à convection dominante dans des domaines complexes (donc excluant les schémas basés uniquement sur des maillages structurés, tel le schéma à mailles décalées classique, dit schéma MAC) ; introduits dans CALIF3S, ces opérateurs seront mis en œuvre pour des écoulements incompressibles, à faible nombre de Mach ou compressibles (en incluant les équations d'Euler). Plus précisément, tout ou partie des points suivants sera traitée :
– Volumes de contrôle pyramidaux ou prismatiques – Ces types de cellules sont assez couramment utilisés dans les maillages industriels. Des mailles prismatiques sont obtenues lorsque l'on construit un maillage par extrusion d'un maillage 2D d'une surface plane générale : typiquement, le maillage d'un tube peut ainsi être obtenu à partir d'un maillage 2D en quad- rangles et triangles d'une de ses sections ; dans ce cas, la discrétisation obtenue donne souvent des solutions de très bonne qualité, parce qu'elle conserve des faces parallèles à l'écoulement, et que les mailles prismatiques gardent leur précision (ou, a minima, la perdent moins vite) lorsque l'anisotropie du maillage devient très prononcée (mailles très allongées dans le sens de l'axe du tube au voisinage des parois pour calculer les couches limites). Les volumes de contrôle pyramidaux, du fait qu'ils possèdent des faces quadrangulaires et triangulaires, permettent de faire coexister tétrahèdres et hexahèdres dans un même maillage, ce qui est parfois nécessaire à certains mailleurs 3D pour traiter une géométrie complexe. Ces volumes de contrôle ne sont pas à ce jour traités dans CALIF3S (seuls les tétrahèdres et les hexahèdres sont pris en compte), d'où le travail d'extension proposé.
L'opérateur de convection du premier ordre est standard sur les mailles primales ; une variante plus précise pourra être obtenue par les techniques de type MUSCL opérantes en géométrie quelconque, dont, parmi de nombreux autres travaux, celles développées au laboratoire [5]. L'opérateur sur maillage dual est plus difficile à obtenir, compte-tenu des contraintes de cohérence avec l'opérateur primal nécessaires à sa positivité ; on suivra ici la ligne mise en œuvre pour les autres discrétisations de CALIF3S [1, 4]. Il est à noter que, pour ces nouvelles discrétisations, il faudra également construire un opérateur de diffusion [5, 3]. Des aspects théoriques pourront être abordés : estimations d'erreur dans le cas diffusif et comportement en cas d'étirement du maillage, stabilité de l'opérateur de diffusion (inégalité de Poincaré, lemme de Korn), stabilité pour le problème de Stokes (condition inf-sup discrète). . .
– Techniques de limitation de pente pour la convection de vitesse dans la quantité de mouvement – Dans le cadre d'une variante (à développer) du schéma de correction de pression implémenté dans CALIF3S, où la convection sera traitée de manière explicite, il s'agira de vérifier (au moins numériquement) les gains apportés par une technique de limita-tion de pente, appliquée aux maillages précédemment construits. On s'intéressera notamment à l'adaptation du schéma à la simulation des grandes échelles.
– Raffinement local non conforme – Des possibilités de raffinement non-conforme sont offertes dans CALIF3S pour les maillages à ce jour disponibles. Il convient toutefois de vérifier les performances d'un tel schéma, voire de l'adapter (i.e. le stabiliser), pour les problèmes à convection dominante. L'extension aux cellules pyramidales et prismatiques sera ensuite envisagée.
– Déroulement de la thèse –
Après une phase de bibliographie importante, compte-tenu de l'étendue scientifique du sujet traité, les travaux à effectuer seront abordés dans l'ordre évoqué ci-dessus. Les développements informatiques seront réalisés dans la bibliothèque CALIF3S développée à l'IRSN.
Références
1. [1] G. Ansanay-Alex, F. Babik, J.-C. Latché, and D. Vola. An L2-stable approximation of the Navier-Stokes convection operator for low-order non-conforming finite elements. International Journal for Numerical Methods in Fluids, 66:555–580, 2010.
2. [2] L.C. Berselli, T. Iliescu, and W.J. Layton. Mathematics of Large Eddy Simulation of Turbulent Flows. Springer, 2006.
3. [3] J. Droniou, R. Eymard, T. Gallouët, C. Guichard, and R. Herbin. The Gradient Discretisation Method. Springer, 2018.
4. [4] J.-C. Latché, B. Piar, and K. Saleh. A discrete kinetic energy preserving convection operator for variable density flows on locally refined staggered meshes. submitted, 2018.
5. [5] L. Piar, F. Babik, R. Herbin, and J.-C. Latché. A formally second order cell centered scheme for convection-diffusion equations on general grids. International Journal for Numerical Methods in Fluids, 71:873–890, 2013.
6. [6] P. Sagaut. Large Eddy Simulation for Incompressible Flows. Springer, 2001.

Nous cherchons un(e) étudiant(e) ayant suivi un parcours Master2 en analyse numérique des EDP et calcul scientifique et ayant de préférence effectué son mémoire de Master 2 en mécanique des fluides numérique.

Le candidat doit envoyer son Curriculum Vitae accompagné de ses relevés de notes en Master 1 et 2.

Un entretien aura lieu entre les futurs directeurs de thèse et le candidat soit à Marseille soit par visioconférence entre le 27 juin et le 4 juillet 2020.

Contexte de travail

Le ou la doctorant(e) effectuera sa thèse au sein de l'Institut de Mathématique de Marseille (I2M) et sera amené à se rendre au Laboratoire de l'Incendie et des Explosions (LIE/SA2I/PSN-RES), à l'IRSN Cadarache. Les tutelles de l'I2M sont le CNRS, l'Université d'Aix-Marseille et l'école Centrale de Marseille, et qui compte environ cent trente enseignants-chercheurs, une trentaine de chercheurs CNRS, une quinzaine de personnels techniques et administratifs, une soixantaine de doctorants et une vingtaine de chercheurs post-doctorants. L'Institut comprend cinq groupes de recherche qui couvrent un large spectre des mathématiques pures et appliquées (Analyse, géométrie, topologie, logique, arithmétique, dynamique, combinatoire, probabilités, statistiques, analyse appliquée, etc.), ainsi qu'un grand nombre de domaines d'applications (scientifiques ou industrielles).

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